Quelle est la taille de chacune des matrices suivantes?

$A=\begin{pmatrix}3&2\\0&5\end{pmatrix}$ $\quad$ $B=\begin{pmatrix}-3&5&1\\2&-4&0\end{pmatrix}$ $\quad$ $C=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ $\quad$ $D=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}$ $\quad$ $E=\begin{pmatrix}1&4\\2&-5\\-3&2\end{pmatrix}$ $\quad$ $F=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\\0\end{pmatrix}$

$\quad$

$A=\begin{pmatrix}3&2\\0&5\end{pmatrix}$ : matrice $2\times 2$

$B=\begin{pmatrix}-3&5&1\\2&-4&0\end{pmatrix}$ : matrice $2\times 3$

$C=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ : matrice $2\times 1$

$D=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}$ : matrice $1\times 2$

$E=\begin{pmatrix}1&4\\2&-5\\-3&2\end{pmatrix}$ : matrice $3\times 2$

$F=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\\0\end{pmatrix}$ : matrice $4\times 1$

$\quad$

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$

1. Que vaut $a_{1,3}$? $a_{3,1}$?
   $\quad$

2. Calculer $ \sum_{j=1}^3 a_{j,j}$, $ \sum_{j=1}^3 a_{2,j}$, $ \sum_{j=1}^3 a_{4-j,j}$.
   $\quad$

1. On a $a_{1,3}=3$ et $a_{3,1}=7$.
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align*} \sum_{j=1}^3 a_{j,j}&=1+5+9\\
   &=15\end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} \sum_{j=1}^3 a_{2,j}&=4+5+6\\
   &=15\end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} \sum_{j=1}^3 a_{4-j,j}&=7+5+3\\
   &=15\end{align*}$
   $\quad$

La matrice $B=\left(B_{i,j}\right)$ est telle que $b_{i,j}=2ij^2$ pour $1\leq i\leq 4$ et $1\leq j\leq 2$.

1. Quelle est la taille de cette matrice?
   $\quad$

2. Écrire la matrice $B$ avec tous ses coefficients.
   $\quad$

1. $B$ est une matrice $4\times 2$.
   $\quad$

2. On a $B=\begin{pmatrix}2&8\\4&16\\6&24\\8&32\end{pmatrix}$.
   $\quad$

Écrire la matrice carrée $C$ d’ordre $5$ dont les coefficients vérifient pour $1\leq i\leq $ et pour $1\leq j\leq 5$ $c_{i,j}=\begin{cases} |i-j|&\text{ si } i\neq j\\1&\text{ sinon}\end{cases}$.

$\quad$

On obtient $C=\begin{pmatrix}1&1&2&3&4\\1&1&1&2&3\\2&1&1&1&2\\3&2&1&1&1\\4&3&2&1&1\end{pmatrix}$.

$\quad$

$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$
Calculer la matrice $10I_2-7J$.

$\begin{align*} 10I_2-7J&=\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7&14\\21&28\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}3&-14\\-21&-18\end{pmatrix}\end{align*}$

1. $A=\begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix}$ et $B+\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}$.
   Calculer $A+B$, $A-B$, $2A$ et $2A-3B$.
   $\quad$

2. Reprendre la question précédente avec $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&-1\\0&-4&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&1&-3\\-2&0&4\\1&-1&-5\end{pmatrix}$.
   $\quad$

1. $A+B=\begin{pmatrix}5&1\\5&3\end{pmatrix}$ $\quad$ $A-B=\begin{pmatrix}-1&-3\\3&-7\end{pmatrix}$
   $2A=\begin{pmatrix}4&-2\\8&-4\end{pmatrix}$ $\quad$ $2A-3B=\begin{pmatrix}-5&-8\\5&-19\end{pmatrix}$
   $\quad$

2. $A+B=\begin{pmatrix}4&2&-3\\-1&3&3\\1&-5&-3\end{pmatrix}$ $\quad$ $A-B=\begin{pmatrix}0&0&3\\3&3&-5\\-1&-3&7\end{pmatrix}$
   $2A=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&6&-2\\0&-8&4\end{pmatrix}$ $\quad$ $2A-3B=\begin{pmatrix}-2&-1&9\\8&6&-14\\-3&-5&19\end{pmatrix}$
   $\quad$

$A=\begin{pmatrix}1&0&4\\2&3&8\\5&6&11\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3&x&y\\6&z&t\\u&v&w\end{pmatrix}$.

Déterminer les réels $x$, $y$, $z$, $t$, $u$, $v$, $w$ tels qu’il existe un réel $k$ vérifiant $A=kB$.
$\quad$

On a $1=3k \Leftrightarrow k\dfrac{1}{3}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} B&=3A \\
&=\begin{pmatrix}3&0&12\\6&9&24\\15&18&33\end{pmatrix}\end{align*}$

$\quad$

Soient $a>0$ et $A=\begin{pmatrix}\ln(a)&\ln\left(a^2\right) \\\ln\left(a^3\right) &\ln\left(a^4\right) \end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $B$ telle que $A=\ln(a)B$.

$\quad$

$\begin{align*} A&=\begin{pmatrix}\ln(a)&\ln\left(a^2\right) \\\ln\left(a^3\right) &\ln\left(a^4\right) \end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}\ln(a)&2\ln\left(a\right) \\3\ln\left(a\right) &4\ln\left(a\right) \end{pmatrix} \\
&=\ln(a)\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\end{align*}$

Donc $B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

$\quad$

$A=\begin{pmatrix}2&1\\3&-5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $AB$.

$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}2\times 2 +1\times (-3)\\3\times 2-5\times (-3)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}1\\21\end{pmatrix}\end{align*}$

$\quad$

$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&-1\\0&-4&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Déterminer la matrice $AB$.

$\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix}2\times 3+1\times 1+0\times (-2)\\1\times 3+3\times 1-1\times (-2) \\0\times 3-4\times 1+2\times (-2)\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}7\\8\\-8\end{pmatrix}\end{align*}$

$\quad$