Variables aléatoires réelles
Cours
1. Variable aléatoire
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
2. Loi de probabilité
La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur possible $x_i$, la probabilité $P(X=x_i)$. La somme de ces probabilités vaut toujours $1$.
3. Espérance
$$E(X) = \sum_i x_i \times P(X=x_i)$$
L'espérance représente la valeur moyenne attendue de $X$ sur un grand nombre de répétitions.
4. Variance et écart-type
$$V(X) = E(X^2)-[E(X)]^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
5. Linéarité de l'espérance
Pour des réels $a,b$ : $E(aX+b) = aE(X)+b$. Pour deux variables aléatoires : $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.
6. Jeu équitable
Un jeu est dit équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle. Il est favorable au joueur si cette espérance est positive.
Exercices Corrigés
Une variable $X$ prend les valeurs $1,2,3$ avec $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}3$, $P(X=3)=0{,}2$. Calculer $E(X)$.
Pour la variable de l'exercice précédent, calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Un jeu fait gagner $5$€ avec une probabilité de $0{,}2$, et rien sinon. Calculer l'espérance de gain.
Le jeu précédent coûte $2$€ pour y participer. Est-il favorable au joueur ?
Une variable $X$ suit $P(X=-1)=0{,}4$, $P(X=0)=0{,}1$, $P(X=2)=0{,}5$. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$, puis calculer $E(X)$.
On lance un dé équilibré. $X$ est le gain en euros égal au chiffre obtenu, sauf pour le $6$ qui rapporte $10$€. Donner la loi de $X$ et calculer $E(X)$.
Sachant $E(X)=3$ et $E(Y)=5$, calculer $E(X+Y)$.
Sachant $E(X)=4$, calculer $E(2X+3)$.
Un jeu coûte $3$€. On gagne $10$€ avec une probabilité de $0{,}15$, sinon on ne gagne rien. Déterminer le gain net espéré.
Un jeu donne $P(\text{gain}=10)=0{,}2$ et $P(\text{gain}=-m)=0{,}8$. Déterminer $m$ pour que le jeu soit équitable.