Probabilités conditionnelles et indépendance
Cours
1. Probabilité conditionnelle
Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(B)\neq0$, la probabilité de $A$ sachant $B$ est :
$$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$$
2. Arbre pondéré
Un arbre pondéré représente les différentes issues successives d'une expérience, avec les probabilités associées à chaque branche. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
3. Formule des probabilités totales
Si $(A_1,\ldots,A_n)$ forme une partition de l'univers, alors pour tout événement $B$ :
$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \times P(B|A_i)$$
Cas particulier avec $(A,\bar A)$ : $P(B) = P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B|\bar A)$.
4. Indépendance de deux événements
$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Ce qui équivaut (si $P(B)\neq0$) à $P(A|B)=P(A)$.
Exercices Corrigés
Dans une classe, $P(F)=0{,}55$ (être une fille) et $P(F \cap S)=0{,}2$ (fille pratiquant un sport). Calculer $P(S|F)$.
Un arbre donne $P(A)=0{,}6$, $P(B|A)=0{,}3$. Calculer $P(A\cap B)$.
Avec $P(A)=0{,}6$, $P(B|A)=0{,}3$, $P(B|\bar A)=0{,}5$, calculer $P(B)$.
Sachant $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$, $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules sans remise. Calculer $P(\text{2 rouges})$.
Reprendre l'exercice précédent avec remise. Calculer $P(\text{2 rouges})$.
Sachant $P(A\cap B)=0{,}12$ et $P(B)=0{,}3$, calculer $P(A|B)$.
Un test médical est positif chez $90\%$ des malades et chez $5\%$ des non-malades. La maladie touche $1\%$ de la population. Calculer $P(T^+)$ (test positif).
Vérifier si les événements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont indépendants lors du lancer d'un dé équilibré.
Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles et non vides. Peuvent-ils être indépendants ?