Écrire les intervalles suivants à l’aide d’inégalités.
$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$
$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& x\in [-9;2] &: -9\leq x \leq 2\\\\
\textbf{2.} &x \in ]0;1[ &: 0<x<1\\\\
\textbf{3.}& x \in ]2;6] &: 2<x\leq 6 \\\\
\textbf{4.}& x \in ]-\infty;5[& : x<5 \\\\
\textbf{5.}& x\in [-3;+\infty[ & :x\geq -3 \\\\
\textbf{6.}& x\in [1;10[ &: 1\leq x<10 \\\\
\end{array}$$
$\quad$
Écrire les inégalités suivantes à l’aide d’intervalles.
$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{2.} &10>x &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{5.}& 0<x & :\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\\
\end{array}$$
$\quad$
$$\begin{array}{cll}
\textbf{1.}& -3<x\leqslant 5 &: x\in]-3;5]\\\\
\textbf{2.} &10>x &: x\in]-\infty;10[ \\\\
\textbf{3.}& x\geqslant -2 &: x\in[-2;+\infty[ \\\\
\textbf{4.}& 3\geqslant x \geqslant 1& : x\in [1;3]\\\\
\textbf{5.}& 0<x & :x\in]0;+\infty[ \\\\
\textbf{6.}& -1 \leqslant x <1 &: x\in[-1;1[ \\\\
\end{array}$$
Compléter avec $\in$ et $\notin$.
$3~\ldots~ [-5;4[$
$\quad$
$-2~\ldots~ [-1;5[$
$\quad$
$0~\ldots~ ]-2;1[$
$\quad$
$10^{-2}~\ldots~ ]0;+\infty[$
$\quad$
$5~\ldots~ ]5;7]$
$\quad$
$\dfrac{3}{7}~\ldots~ [0,5;2]$
$\quad$
$\pi~\ldots~ [3,1;3,2[$
$\quad$
$\dfrac{3}{8}~\ldots~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$
$\quad$
$10^{-5}~\ldots~ ]-\infty;0]$
$\quad$
$3~\in~ [-5;4[$
$\quad$
$-2~\notin~ [-1;5[$
$\quad$
$0~\in~ ]-2;1[$
$\quad$
$10^{-2}~\in~ ]0;+\infty[$
$\quad$
$5~\notin~ ]5;7]$
$\quad$
$\dfrac{3}{7}~\notin~ [0,5;2]$ car $\dfrac{3}{7}\approx 0,43$
$\quad$
$\pi~\in~ [3,1;3,2[$ car $\pi \approx 3,14$
$\quad$
$\dfrac{3}{8}~\in~ \left[\dfrac{3}{9};\dfrac{3}{7}\right]$ car $7<8<9$ donc $\dfrac{3}{9}<\dfrac{3}{8}<\dfrac{3}{9}$
$\quad$
$10^{-5}~\notin~ ]-\infty;0]$ car $10^{-5}>0$
$\quad$
On considère un rectangle dont la longueur est $L$ et la largeur $\ell$.
On sait que que son périmètre $P$ vérifie $P\in]40;90]$ et que $5<\ell \leq 8$.
Déterminer l’ensemble des valeurs entières que peut prendre $L$.
$\quad$
Le périmètre du rectangle est $P=2(L+\ell)$.
Par conséquent $40<2(L+\ell)\leq 90 \Leftrightarrow 20<L+\ell\leq 45 \Leftrightarrow 20-L<\ell\leq 45-L$.
Or $5<\ell \leq 8$
Il faut donc que $20-L<8$ et $45-L>5$ soit $L>12$ et $L< 40$
Par conséquent $L$ peut prendre des valeurs entières comprises entre $13$ et $39$ toutes les deux incluses.
$\quad$
Déterminer tous les entiers naturels appartenant à chacun des intervalles suivants :
$$\left[-2;\sqrt{5}\right] \qquad [3;9[ \qquad \left]-\infty; \dfrac{28}{5}\right] $$
$\quad$
On a $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9} \Leftrightarrow 2<\sqrt{5}<3$ donc les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[-2;\sqrt{5}]$ sont $0; 1$ et $2$.
Les entiers naturels appartenant à l’intervalle $[3;9[$ sont $3; 4; 5; 6; 7$ et $8$.
$\dfrac{28}{5}=5,6$ par conséquent les entiers naturels appartenant à l’intervalle $\left]-\infty;\dfrac{28}{5}\right]$ sont $0; 1; 2; 3; 4$ et $5$.
$\quad$
Donner un encadrement des nombres suivants :
$\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près
$\quad$
$\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près
$\quad$
$-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près
$\quad$
$-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près
$\quad$
Un encadrement de $\dfrac{1}{3}$ à $10^{-4}$ près est $[0,333~3;0,333~4]$.
$\quad$
Un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près est $[1,414;1,415]$.
$\quad$
Un encadrement de $-\sqrt{7}$ à $10^{-2}$ près est $[-2,65;-2,64]$.
$\quad$
Un encadrement de $-\dfrac{5}{11}$ à $10^{-3}$ près est $[-0,455,-0,454]$.
$\quad$
Dans chacun des cas déterminer l’amplitude de l’encadrement proposé :
$-2<x<7$
$\quad$
$-1,23\leq x \leq -1,17$
$\quad$
$-1,576 < x<2,435$
$\quad$
$2,45<x<2,58$
$\quad$
L’amplitude de l’encadrement $-2<x<7$ est $7-(-2)=9$.
$\quad$
L’amplitude de l’encadrement $-1,23\leq x \leq -1,17$ est $-1,17-(-1,23)=0,06$.
$\quad$
L’amplitude de l’encadrement $-1,576 < x<2,435$ est $2,435-(-1,576)=4,011$.
$\quad$
L’amplitude de l’encadrement $2,45<x<2,58$ est $2,58-2,45=0,13$.
$\quad$
On appelle développement décimal d’un nombre sa décomposition selon les puissances de $10$.
On a par exemple : $13,254=1\times 10^1+3\times 10^0+2\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}+4\times 10^{-3}$
Déterminer le développement décimal des nombres suivants :
$$147,23\qquad \dfrac{15}{8} \qquad -0,002~4$$
$\quad$
$147,23=1\times 10^2+4\times 10^1+7\times 10^0+2\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}$
$\dfrac{15}{8}=1,875=1\times 10^0+8\times 10^{-1}+7\times 10^{-2}+5\times 10^{-3}$
$-0,002~4=-2\times 10^{-3}-4\times 10^{-4}$
$\quad$
Effectuer à la main la division décimale de $1$ par $7$ jusqu’à $7$ chiffres après la virgule.
En déduire la valeur du $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$.
$\quad$
on a $\dfrac{1}{7}\approx 0,142~857~1$
Dans la division décimale de $1$ par $7$ on va donc retrouver les mêmes chiffres toutes les $6$ décimales.
Or $2~019=6\times 336+3$
Le $3^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est $2$ donc le $2~019^{\text{ième}}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ est également un $2$.
$\quad$
Interpréter à l’aide de distance puis résoudre les équations et inéquations suivantes :
$|x+3|=3$
$\quad$
$|x-3|\leq 1$
$\quad$
$|x-5|\geq 2$
$\quad$
$|3x-4|\leq \dfrac{1}{2}$
$\quad$
$2\leq |1+x|\leq 3$
$\quad$
Pour visualiser plus facilement les différentes situations, on peut placer sur une droite graduée les points $A$ et $M$ et représenter les ensembles solutions.
$|x+3|=3 \Leftrightarrow \left|x-(-3)\right|=3$
Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-3$ est égale à $3$.
$|x+3|=3 \Leftrightarrow x+3=3$ ou $x+3=-3$
$phantom{|x+3|=3 }\Leftrightarrow x=0$ ou $x=-6$
Les solutions de l’équation $|x+3|=3$ sont $0$ et $-6$.
$\quad$
$|x-3|\leq 1$
Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $3$ est inférieure ou égale à $1$.
$|x-3|\leq 1 \Leftrightarrow -1\leq x-3\leq 1 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 4$ (on ajoute $3$ à tous les membres de l’inégalité).
L’ensemble solution de l’inéquation $|x-3|\leq 1$ est l’intervalle $[2;4]$.
$\quad$
$|x-5|\geq 2$
Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $5$ est supérieure ou égale à $2$.
$|x-5|\geq 2 \Leftrightarrow x-5\geq 2$ ou $x-5 \leq -2$
$\phantom{|x-5|\geq 2 } \Leftrightarrow x\geq 7$ ou $x\leq 3$
L’ensemble solution de l’inéquation $|x-5|\leq 2$ est $]-\infty,3]\cup [7;+\infty[$.
$\quad$
$|3x-4|\leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \leq \dfrac{1}{6}$ (on divise tous les nombres par $3$)
Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $\dfrac{4}{3}$ est inférieure ou égale à $\dfrac{1}{6}$.
$\begin{align*} \left|x-\dfrac{4}{3}\right| \leq \dfrac{1}{6} &\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6} \leq x-\dfrac{4}{3}\leq \dfrac{1}{6}\\
&\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3} \leq x\leq \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}\\
&\Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6} \leq x\leq \dfrac{1}{6}+\dfrac{8}{6}\\
&\Leftrightarrow \dfrac{7}{6} \leq x\leq \dfrac{9}{6} \end{align*}$
L’ensemble solution de l’inéquation $|3x-4|\leq \dfrac{1}{2}$ est l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$
$2\leq |1+x|\leq 3 \Leftrightarrow 2\leq \left|x-(-1)\right|\leq 3$
Sur une droite graduée, la distance entre le point $M$ d’abscisse $x$ et le point $A$ d’abscisse $-1$ est comprise entre $2$ et $3$, tous les deux inclus.
$2\leq |1+x|\leq 3 \Leftrightarrow 2\leq 1+x \leq 3$ ou $-3\leq 1+x \leq -2$
$\phantom{2\pp |1+x|\leq 3} \Leftrightarrow 1\leq x \leq 2$ ou $-4 \leq x\leq -3$
L’ensemble solution de l’inéquation $2\leq |1+x|\leq 3$ est $[-4;-3]\cup [1;2]$.
$\quad$