Fonction logarithme népérien

À retenir. $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$ ($a,b>0$). Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x)=x$ et, pour $x>0$, $e^{\ln x}=x$.

À retenir. $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : $\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b$ et $\ln a<\ln b\Leftrightarrow a<b$ (avec $a,b>0$). Penser à vérifier que les expressions sous le logarithme sont strictement positives.

À retenir. $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ ; $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.