Géométrie dans l’espace

À retenir. Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$, « arrivée moins départ ». $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’il existe $k$ tel que $\vec v=k\vec u$. $ABCD$ est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

À retenir. Dans un repère orthonormé : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ ; $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$ ; $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$.

À retenir. La droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur directeur $\vec u(a;b;c)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ ($t\in\mathbb R$), soit $x=x_A+at$, $y=y_A+bt$, $z=z_A+ct$. Un point appartient à la droite si un même $t$ convient pour les trois coordonnées.

À retenir. Un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ a une équation $ax+by+cz+d=0$ ; $d$ se calcule en écrivant que le plan contient un point connu. Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

À retenir. Droite de vecteur directeur $\vec u$, plan de vecteur normal $\vec n$ : parallèles si $\vec u\cdot\vec n=0$ ; orthogonaux si $\vec u$ et $\vec n$ sont colinéaires. Plans perpendiculaires : $\vec n\cdot\vec n'=0$. Intersection droite et plan : reporter la représentation paramétrique dans l’équation du plan.

À retenir. Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $P$ est le point de $P$ tel que $\overrightarrow{AH}$ soit colinéaire à $\vec n$. Distance : $d(A,P)=AH=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.