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Fonction exponentielle
EXP-1 : Utiliser les propriétés algébriques de l’exponentielle (équations, inéquations)
À retenir. $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{-a}=\dfrac1{e^a}$, $(e^a)^n=e^{na}$. $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a\leq e^b\iff a\leq b$ (exp est strictement croissante). $e^x>0$ pour tout réel $x$.
EXP-2 : Dériver des fonctions faisant intervenir l’exponentielle
À retenir. $(e^u)'=u'e^u$. Comme $e^u>0$, le signe de $f'$ est celui du facteur qui multiplie l’exponentielle. Pour un produit : $(uv)'=u'v+uv'$.
EXP-3 : Déterminer des limites avec l’exponentielle
À retenir. $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$. Croissances comparées : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$. $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}x=1$.
EXP-4 : Étudier une fonction exponentielle (variations, extremum, solutions)
À retenir. Dériver, étudier le signe de $f'$, dresser le tableau de variations avec les limites. La valeur d’un extremum est $f(x_0)$, pas $x_0$. Nombre de solutions de $f(x)=k$ : théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de monotonie.