Convexité

À retenir. $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (et sous ses cordes) ; concave si elle est en dessous de ses tangentes (et au-dessus de ses cordes). $f$ convexe $\iff f'$ croissante $\iff f''\geq0$.

À retenir. Calculer $f'$ puis $f''$ (dériver deux fois), étudier le signe de $f''$ : $f''\geq0$ sur $I$ donne $f$ convexe, $f''\leq0$ donne $f$ concave. Pour $e^u$, ne pas oublier le facteur $u'$ à chaque dérivation.

À retenir. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : $f''$ s’annule en changeant de signe. Si $f''$ s’annule sans changer de signe (comme $12x^2$ en $0$), il n’y a pas d’inflexion.

À retenir. Convexe : la courbe est au-dessus de ses tangentes. Tangente de $\exp$ en $0$ : $e^x\geq x+1$. Concave : la courbe est en dessous de ses tangentes. Tangente de $\ln$ en $1$ : $\ln x\leq x-1$ pour $x>0$.