Nombres complexes : trigonométrie

À retenir. Si $z\neq0$ : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et $\arg z=\theta$ avec $\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}$, $\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}$. Forme trigonométrique : $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$. $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$ et $\arg\dfrac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2$ (à $2\pi$ près).

À retenir. $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|$. $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $r e^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$ ; $e^{i\pi}=-1$ ; $e^{i\pi/2}=i$.

À retenir. Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$. Linéarisation : $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ et $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$.