Nombres complexes : forme algébrique

À retenir. $z=a+ib$ avec $a=\operatorname{Re}(z)$ et $b=\operatorname{Im}(z)$ réels, et $i^2=-1$. Somme : on additionne les parties réelles et les parties imaginaires. Produit : $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$. Quotient : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Puissances de $i$ : $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$.

À retenir. Dans $\mathbb{C}$, $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c$ réels et $\Delta=b^2-4ac<0$ admet deux solutions complexes conjuguées $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Le produit de ces deux solutions est $\dfrac{c}{a}$ et leur somme $-\dfrac{b}{a}$.

À retenir. $\overline{a+ib}=a-ib$ ; $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; $z\overline{z}=|z|^2$ ; $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ; $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}$ ; $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$.