Nombres complexes

À retenir. $i^2=-1$. $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$. Conjugué : $\overline{a+ib}=a-ib$ ; pour diviser, multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur.

À retenir. $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$. L’argument $\theta$ vérifie $\cos\theta=\frac a{|z|}$ et $\sin\theta=\frac b{|z|}$ : attention au quadrant, $\arctan\frac ba$ ne suffit pas.

À retenir. $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$. $|z^n|=|z|^n$ et $\arg(z^n)=n\arg z$ (formule de Moivre). $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$.

À retenir. $az^2+bz+c=0$ ($a,b,c$ réels) avec $\Delta<0$ : $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Distance $AB=|z_B-z_A|$. Racines $n$-ièmes de l’unité : $e^{2ik\pi/n}$.