Arithmétique : divisibilité et congruences

À retenir. $a$ divise $b$ ($a\mid b$) s'il existe un entier $k$ tel que $b=ka$. Division euclidienne : $a=bq+r$ avec $0\leq r<b$. Si $d\mid a$ et $d\mid b$ alors $d$ divise toute combinaison $ua+vb$ ($u,v$ entiers).

À retenir. $a\equiv b\;[n]$ si $n$ divise $a-b$ (même reste dans la division par $n$). Les congruences se somment et se multiplient : si $a\equiv b\;[n]$ et $c\equiv d\;[n]$ alors $a+c\equiv b+d$, $ac\equiv bd$ et $a^k\equiv b^k$.

À retenir. $10\equiv1\;[9]$ et $10\equiv1\;[3]$ : un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division par $9$ (ou par $3$). Divisibilité par $2$, $5$, $4$, $10$ : se lit sur les derniers chiffres.