Résoudre les équations suivantes, en précisant au préalable l’ensemble d’étude.

1. $\dfrac{4}{3}x-\dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12}$
   $\quad$

2. $\dfrac{4x-1}{x-4} = 0$
   $\quad$

3. $x-3 + 2(x^2-9) + (x-3)(2x + 6) = 0$
   $\quad$

4. $x-2-\dfrac{1-5x}{6} = 2x-\dfrac{3}{4}(x-1)$
   $\quad$

5. $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{x-4}{5} = \dfrac{8x-7}{15}$
   $\quad$

6. $\dfrac{x^2-5}{x-5} = 1$
   $\quad$

7. $(x^2 + 1)(x + 2)(x- 3) = 0$
   $\quad$

8. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0$
   $\quad$

9. $(x + 1)(x + 3) = 4x^2-4$
   $\quad$

10. $(x + 1)^2 = 16$
    $\quad$

11. $\dfrac{2x + 1}{2x-1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3}$
    $\quad$

12. $\dfrac{1}{x + 1} = 0$
    $\quad$

13. $(x-3)^2-(2x + 1)^2 = 0$
    $\quad$

14. $\dfrac{3}{x-1}- 4 = \dfrac{4x}{2-x}$
    $\quad$

15. $x^2-6 = 0$
    $\quad$

16. $\dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-2}{x^2- 1}$
    $\quad$

17. $(x + 1)^3 = (2x-5)^2(x+ 1)$
    $\quad$

18. $x^2 =-5x$
    $\quad$

19. $\dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4}$
    $\quad$

20. $x^2-2x + 1 = (x-3)^2$

1. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   $\begin{align} \dfrac{4}{3}x-\dfrac{5}{4} = x + \dfrac{1}{12} & \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x-x = \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{16}{12} \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x = \dfrac{4}{3} \\\\
   & \Leftrightarrow x = 4
   \end{align}$
   La solution de l’équation est $4$.
   $\quad$
   $\quad$

2. Il ne faut pas que $x-4 = 0$. Par conséquent l’intervalle d’étude est $\mathbb{R}\setminus \{4\} = ]-\infty;4[\cup]4;+\infty[$.
   Pour $x \ne 4$
   $\dfrac{4x-1}{x-4} = 0$ $ \Leftrightarrow 4x-1 = 0$ $ \Leftrightarrow 4x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}$
   La solution de l’équation est $\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$
   $\quad$

3. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   $\begin{align} x-3 + 2(x^2-9) + (x-3)(2x + 6) = 0 & \Leftrightarrow x-3 + 2(x-3)(x + 3) + (x-3)(2x + 6) = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (x-3) \left[1 + 2(x + 3) + (2x + 6)\right] = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (x-3) (1 + 2x + 6 + 2x + 6) \\\\
   & \Leftrightarrow (x-3)(4x + 13)
   \end{align}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
   $x-3 = 0 \qquad$ ou $\qquad 4x + 13 = 0$
   $x = 3 \qquad$ ou $\qquad x =-\dfrac{13}{4}$
   Les solutions de l’équation sont $3$ et $-\dfrac{13}{4}$.
   $\quad$
   $\quad$

4. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   Pour ne pas être embêté par les dénominateurs, on multiplie par $12$ (multiple commun à $6$ et $4$ ) les deux membres.
   $\begin{align} x-2-\dfrac{1-5x}{6} = 2x-\dfrac{3}{4}(x-1) & \Leftrightarrow 12x-24-2(1-5x) = 24x-3 \times 3(x-1) \\\\
   & \Leftrightarrow 12x-24-2 + 10x = 24x-9x + 9 \\\\
   & \Leftrightarrow 22x-26 = 15x + 9 \\\\
   & \Leftrightarrow 22x-15x = 9 + 26 \\\\
   & \Leftrightarrow 7x = 35 \\\\
   & \Leftrightarrow x = \dfrac{35}{7} \\\\
   & \Leftrightarrow x = 5
   \end{align}$
   La solution de l’équation est $5$.
   $\quad$
   $\quad$

5. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   Pour simplifier un peu les calculs, on va multiplier les deux membres de l’équation par $15$.
   $\begin{align} \dfrac{x + 1}{3}-\dfrac{x-4}{5} = \dfrac{8x-7}{15} &\Leftrightarrow 5(x + 1)-3(x-4) = 8x-7 \\\\
   & \Leftrightarrow 5x + 5-3x + 12 = 8x-7 \\\\
   & \Leftrightarrow 2x + 17 = 8x-7 \\\\
   & \Leftrightarrow 17 + 7 = 8x-2x \\\\
   & \Leftrightarrow 24 = 6x \\\\
   & \Leftrightarrow x = \dfrac{24}{6} \\\\
   & \Leftrightarrow x = 4
   \end{align}$
   La solution de l’équation est $4$.
   $\quad$
   $\quad$

6. Il ne faut pas que $x-5 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R}\setminus\{5\} = ]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$.
   Pour $x \ne 5$
   $\begin{align} \dfrac{x^2-5}{x-5} = 1 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-5}{x-5}-1 = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-5-(x-5)}{x-5} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x}{x-5 } = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x(x-1)}{x-5} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow x(x-1) = 0
   \end{align}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x-1 = 0$
   $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x = 1$
   Les solutions de l’équation sont $0$ et $1$.
   $\quad$
   $\quad$

7. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   $(x^2 + 1)(x + 2)(x-3) = 0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $x^2 + 1 =0$ $\qquad$ ou $x + 2 = 0 \qquad$ ou $x-3 = 0$
   $x^2=-1$ $\qquad$ ou $x =-2 \qquad$ ou $\qquad x = 3$
   $x^2=-1$ n’a pas de solution car un carré est toujours positif.
   Les solutions de l’équation sont donc $-2$ et $3$.
   $\quad$
   $\quad$

8. Il ne faut pas que $x=0$ et $x+1=0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \{-1;0\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;0[\cup]0;+\infty[$.
   Si $x \ne 0$ et $x \ne-1$
   $\begin{align} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0 & \Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x(x + 1)} + \dfrac{x}{x(x + 1)} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow x =-\dfrac{1}{2}
   \end{align}$
   La solution de l’équation est $- \dfrac{1}{2}$
   $\quad$
   $\quad$

9. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
   $\begin{align} (x + 1)(x + 3) = 4x^2-4 & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x^2-1) \\\\
   & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 4(x + 1)(x-1) \\\\
   & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3)-4(x + 1)(x-1) = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (x + 1)\left[(x + 3)-4(x-1)\right] = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3-4x + 4) = 0\\\\
   & \Leftrightarrow (x + 1)(-3x + 7) = 0
   \end{align}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad-3x + 7 = 0$
   $x =-1 \qquad$ ou $\qquad-3x =-7$
   $x =-1 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{7}{3}$
   Les solutions de l’équation sont $-1$ et $\dfrac{7}{3}$
   $\quad$
   $\quad$

10. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
    $\begin{align} (x + 1)^2 = 16 &\Leftrightarrow (x + 1)^2-16 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)^2-4^2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \left[(x + 1)-4\right] \left[(x + 1) + 4\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3)(x + 5) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $x-3 = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
    $x = 3 \qquad$ ou $\qquad x =-5$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $3$.
    Remarque : on pouvait aussi dire dès le départ : $x+1 = 4$ ou $x + 1 =-4$ en utilisant la propriété sur les égalités des carrés.
    $\quad$
    $\quad$

11. Il ne faut pas que $2x-1 =0$ et que $2x + 3 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Si $x \ne-\dfrac{3}{2}$ et $x \ne \dfrac{1}{2}$
    $\begin{align} \dfrac{2x + 1}{2x-1} = \dfrac{2x + 5}{2x + 3} & \Leftrightarrow (2x + 1)(2x + 3) = (2x-1)(2x + 5) \\\\
    & \Leftrightarrow 4x^2 + 6x + 2x + 3 = 4x^2 + 10x-2x-5 \\\\
    & \Leftrightarrow 8x + 3 = 8x-5 \\\\
    & \Leftrightarrow 3 =-5
    \end{align}$
    Cette équation ne possède pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$

12. Il ne faut pas que $x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \{-1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.
    $\dfrac{1}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow 1 = 0$
    Cette équation ne possède pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$

13. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$
    $\begin{align} (x-3)^2-(2x + 1)^2 = 0 &\Leftrightarrow \left[(x-3)-(2x + 1)\right]\left[(x-3) + (2x + 1)\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x-3-2x-1)(x-3 + 2x + 1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (-x-4)(3x-2) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $-x-4 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x-2 = 0$
    $x =-4 \qquad$ ou $\qquad 3x = 2$
    $x =-4 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{2}{3}$
    Les solutions de l’équation sont $-4$ et $\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    $\quad$

14. Il ne faut pas que $x-1 =0$ et $2-x = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \{1;2\} = ]-\infty;1[\cup]1;2[\cup]2;+\infty[$.
    Si $x \ne 1$ et $x \ne 2$
    $\begin{align} \dfrac{3}{x-1}-4 = \dfrac{4x}{2-x} & \Leftrightarrow \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{4(x-1)}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0\\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{3-4x + 4}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{7-4x}{x-1}-\dfrac{4x}{2-x} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{(7-4x)(2-x)-4x(x-1)}{(x-1)(2-x)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{14-7x-8x + 4x^2-4x^2 + 4x}{(x-1)(2-x)} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-11x +14}{(x-1)(2-x)}= 0 \\\\
    & \Leftrightarrow-11x + 14 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{14}{11}
    \end{align}$
    $\quad$
    La solution de l’équation est $\dfrac{14}{11}$
    $\quad$
    $\quad$

15. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$
    $\begin{align} x^2-6 = 0 & \Leftrightarrow x^2-\sqrt{6}^2 = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \left(x-\sqrt{6} \right)\left(x + \sqrt{6}\right) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x-\sqrt{6} = 0 \qquad$ ou $\qquad x + \sqrt{6} = 0$
    $x = \sqrt{6} \qquad$ ou $\qquad x =-\sqrt{6}$
    Les solutions de l’équation sont $-\sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$.
    $\quad$
    $\quad$

16. Il ne faut pas que $x + 1 =0$ et $x-1 = 0$ et $x^2-1 = 0$.
    Or $x^2-1 = (x + 1)(x-1)$.
    L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \{-1;1\} = ]-\infty;-1[\cup]-1;1[\cup]1;+\infty[$.
    Pour $x \ne-1$ et $x \ne 1$
    $\begin{align} \dfrac{2}{x + 1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-2}{x^2-1} & \Leftrightarrow \dfrac{2(x-1)}{(x + 1)(x-1)}-\dfrac{x + 1}{(x-1)(x + 1)} = \dfrac{-2}{x^2-1} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-(x + 1)}{x^2-1}-\dfrac{-2}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-x-1 + 2}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x^2-1} = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow x-1 = 0 \\\\
    \end{align}$
    Notre ensemble d’étude nous impose que $x-1 \ne 0$. L’équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$

17. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
    $\begin{align} (x + 1)^3 = (2x-5)^2(x+ 1) & \Leftrightarrow (x + 1)^3-(2x-5)^2 (x + 1) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1)^2-(2x-5)^2\right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1) \left[(x + 1)-(2x-5) \right]\left[(x + 1) + (2x-5) \right] = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(x + 1-2x + 5)(x + 1 + 2x-5) = 0 \\\\
    & \Leftrightarrow (x + 1)(-x + 6)(3x-4) = 0
    \end{align}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x + 1 = 0 \qquad$ ou $\qquad-x + 6 = 0 \qquad$ ou $\qquad 3x-4 = 0$
    $x =-1 \qquad$ ou $\qquad x = 6 \qquad$ ou $\qquad x = \dfrac{4}{3}$
    Les solutions de l’équation sont donc $-1$, $\dfrac{4}{3}$ et $6$.
    $\quad$
    $\quad$

18. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
    $x^2 =-5x \Leftrightarrow x^2 + 5x = 0 \Leftrightarrow x(x + 5) = 0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x + 5 = 0$
    $x = 0 \qquad$ ou $\qquad x =-5$
    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $0$.
    $\quad$
    $\quad$

19. Il ne faut pas que $4x + 1 = 0$. L’ensemble d’étude est donc $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{4} \right\} = \left]-\infty;-\dfrac{1}{4}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{4};+\infty\right[$
    Si $x \ne-\dfrac{1}{4}$
    $ \begin{align} \dfrac{x + 8}{4x + 1} = \dfrac{1}{4} & \Leftrightarrow 4(x + 8) = 4x + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow 4x + 32 = 4x + 1 \\\\
    & \Leftrightarrow 32 = 1
    \end{align}$
    Cette équation ne possède donc pas de solution.
    $\quad$
    $\quad$

20. On peut résoudre cette équation sur $\mathbb{R}$.
    $\begin{align} x^2-2x + 1 = (x-3)^2 & \Leftrightarrow x^2-2x + 1 = x^2-6x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow-2x + 1 =-6x + 9 \\\\
    & \Leftrightarrow-2x + 6x = 9-1 \\\\
    & \Leftrightarrow 4x = 8 \\\\
    & \Leftrightarrow x = 2
    \end{align}$
    La solution de l’équation est $2$.

Un théâtre propose des places à $15$ € et d’autres places à $20$ €. Le soir d’une représentation où il a affiché complet, la recette a été de $8~000$ €.
Le nombre des spectateurs était de $470$.
Déterminer le nombre de places à $15$ €, puis le nombre de places à $20$ €.

On appelle $n$ le nombre de places à $15$ €. Par conséquent $470-n$ places à $20$ € ont été vendues.
La recette est donc $15n+20(470-n)$.
On doit donc résoudre l’équation :

$\begin{align*} 15n+20(470-n)=8~000 &\Leftrightarrow 15n+9~400-20n=8~000 \\
&\Leftrightarrow -5n=-1~400 \\
&\Leftrightarrow n=280\end{align*}$

$280$ places à $15$ € et $190$ places à $20$ € ont donc été vendues.

>En augmentant de $7$ cm la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de $81$ cm$^2$.
Quelle est l’aire du carré initial?

$\quad$

On appelle $x$ la longueur du côté initial.
L’aire du nouveau carré est donc $(x+7)^2$ et l’aire du carré initial est $x^2$.
On obtient par conséquent l’équation suivante :

$\begin{align*} (x+7)^2=x^2+81&\Leftrightarrow (x+7)(x+7)=x^2+81\\
&\Leftrightarrow x^2+7x+7x+49=x^2+81 \\
&\Leftrightarrow 14x=81-49 \\
&\Leftrightarrow 14x=32\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{32}{14} \\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{7}\end{align*}$

Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut $603$.

$\quad$

On appelle $n$ le plus petit des deux entiers naturels. Les deux entiers naturels consécutifs sont donc $n$ et $n+1$.
On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} (n+1)^2-n^2=603&\Leftrightarrow (n+1)(n+1)-n^2=603 \\
&\Leftrightarrow n^2+n+n+1-n^2=603 \\
&\Leftrightarrow 2n+1=603\\
&\Leftrightarrow 2n=603-1\\
&\Leftrightarrow 2n=602 \\
&\Leftrightarrow n=301\end{align*}$

Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $301$ et $302$.

$\quad$

On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $V=\dfrac{d}{T}$ où $V$ est la vitesse et $T$ le temps mis pour parcourir la distance $d$ (attention à la concordance des unités).

1. Un automobiliste parcourt $36$ km en $18$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h?
   $\quad$

2. Exprimer $T$ en fonction de $V$ et $d$.
   Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $30$ km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir $18$ km?
   $\quad$

3. Exprimer $d$ en fonction de $V$ et $T$.
   Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de $110$ km/h pendant $42$ minutes.
   $\quad$

1. $18$ min $= \dfrac{18}{60}$ h soit $0,3$ h. La vitesse moyenne de l’automobiliste est $V=\dfrac{36}{0,3}=120$ km/h.
   $\quad$

2. $V=\dfrac{d}{T} \Leftrightarrow T=\dfrac{d}{V}$.
   Ainsi si $V=30$ km/h et $d=18$ km alors $T=\dfrac{18}{30}=0,6$ h $=0,6\times 60$ min soit $36$ min.
   Le cycliste a donc mis $36$ min pour parcourir $18$ km à la vitesse moyenne de $30$ km/h
   $\quad$

3. $V=\dfrac{d}{T}\Leftrightarrow d=V\times T$
   Ainsi si $V=110$ km/h et $T=42$ min c’est-à-dire $\dfrac{42}{60}$ h soit $0,7$ h on obtient alors $d=110\times 0,7=77$ km.
   On a donc parcouru $77$ km en moto en roulant $42$ minutes à la vitesse moyenne de $110$ km/h.

$\quad$

Exprimer la longueur du rayon d’un disque en fonction de son aire.
Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de $30$ cm$^2$?

$\quad$

L’aire d’un disque est donnée par la formule $\mathscr{A}=\pi r^2$ où $r$ est le rayon du disque.
Ainsi $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi} $ et $r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}$ car $r>0$.

Par conséquent si $\mathscr{A}=30$ cm$^2$ alors $r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}$ cm.

$\quad$

Deux variables $x$ et $y$ sont liées par la relation $y=\dfrac{2x+1}{x+4}$ où $x$ est un réel différent de $-4$ et $y$ un réel différent de $2$.
Exprimer $x$ en fonction de $y$.

$\quad$

1. Pour tout réel $x$ différent de $-4$ et tout réel $y$ différent de $2$ on a :

   $\begin{align*} y=\dfrac{2x+1}{x+4}&\Leftrightarrow (x+4)y=2x+1 \\
   &\Leftrightarrow xy+4y=2x+1 \\
   &\Leftrightarrow xy-2x=1-4y\\
   &\Leftrightarrow x(y-2)=1-4y \\
   &\Leftrightarrow x=\dfrac{1-4y}{y-2}\end{align*}$

   $\quad$

   
   

Quel même nombre doit-on ajouter à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{6}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $\dfrac{8}{7}$?
$\quad$

>On appelle $x$ le nombre qu’on ajoute au numérateur et au dénominateur. On obtient donc l’équation suivante :

$\begin{align*} \dfrac{1+x}{6+x}=\dfrac{8}{7} &\Leftrightarrow 7(1+x)=8(6+x) \\
&\Leftrightarrow 7+7x=48+8x \\
&\Leftrightarrow 7-48=8x-7x\\
&\Leftrightarrow x=-41\end{align*}$

$\quad$

Résoudre les équations suivantes :

1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
   $\quad$

2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
   $\quad$

3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
   $\quad$

4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
   $\quad$

5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
   $\quad$

6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
   $\quad$

1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow }7x-1=0$ ou $-2x-5=0$
   $\Leftrightarrow 7x=1$ ou $-2x=5$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{5}{2}$.
   $\quad$

2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } 4x+3=0$ ou $-5x+1=0$
   $\Leftrightarrow 4x=-3$ ou $-5x=-1$
   $\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
   Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{5}$.
   $\quad$

3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow }-5x+2=0$ ou $3x-7=0$
   $\Leftrightarrow -5x=-2$ ou $3x=7$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}$ ou $x=\dfrac{7}{3}$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{2}{5}$ ou $\dfrac{7}{3}$.
   $\quad$

4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } 4x-1=0$ ou $-7x+2=0$
   $\Leftrightarrow 4x=1$ ou $-7x=-2$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{7}$
   $\quad$

5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
   $\Leftrightarrow (4x-1)\left[(x+5)-(2x+3)\right]=0$
   $\Leftrightarrow (4x-1)(x+5-2x-3)=0$
   $\Leftrightarrow (4x-1)(-x+2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } 4x-1=0$ ou $-x+2=0$
   $\Leftrightarrow 4x=1$ ou $-x=-2$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=2$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{1}{4}$ ou $2$.
   $\quad$

6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
   $\Leftrightarrow (-2x+3)\left[(5x+2)+4-7x\right]=0$
   $\Leftrightarrow (-2x+3)(5x+2+4-7x)=0$
   $\Leftrightarrow (-2x+3)(-2x+6)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } -2x+3=0$ ou $-2x+6=0$
   $\Leftrightarrow -2x=-3$ ou $-2x=-6$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=3$
   Les solutions de l’équations sont $\dfrac{3}{2}$ et $3$
   $\quad$

Résoudre les équations suivantes :

1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
   $\quad$

2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
   $\quad$

3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
   $\quad$

4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
   $\quad$

1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
   Ici $a=2x-3$ et $b=4x+2$
   $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
   $\Leftrightarrow \left[(2x-3)-(4x+2)\right]\left[(2x-3)+(4x+2)\right]=0$
   $\Leftrightarrow (2x-3-4x-2)(2x-3+4x+2)=0$
   $\Leftrightarrow (-2x-5)(6x-1)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } -2x-5=0$ ou $6x-1=0$
   $\Leftrightarrow -2x=5$ ou $6x=1$
   $\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
   Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$

2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
   Ici $a=5x+7$ et $b=-2x+5$
   $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
   $\Leftrightarrow \left[(5x+7)-(-2x+5)\right]\left[(5x+7)+(-2x+5)\right]=0$
   $\Leftrightarrow (5x+7+2x-5)(5x+7-2x+5)=0$
   $\Leftrightarrow (7x+2)(3x+12)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } 7x+2=0$ ou $3x+12=0$
   $\Leftrightarrow 7x=-2$ ou $3x=-12$
   $\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{7}$ ou $x=-4$
   Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{2}{7}$ et $-4$.
   $\quad$

3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
   $\Leftrightarrow (7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
   Ici $a=7x-5$ et $b=-2x+3$
   $(7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
   $\Leftrightarrow \left[(7x-5)-(-2x+3)\right]\left[(7x-5)+(-2x+3)\right]=0$
   $\Leftrightarrow (7x-5+2x-3)(7x-5-2x+3)=0$
   $\Leftrightarrow (9x-8)(5x-2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } 9x-8=0$ ou $5x-2=0$
   $\Leftrightarrow 9x=8$ ou $5x=2$
   $\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{9}$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{8}{9}$ et $\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$

4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
   $\Leftrightarrow (-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
   Ici $a=-4x-3$ et $b=-5x+6$
   $(-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
   $\Leftrightarrow \left[(-4x-3)-(-5x+6)\right]\left[(-4x-3)+(-5x+6)\right]=0$
   $\Leftrightarrow (-4x-3+5x-6)(-4x-3-5x+6)=0$
   $\Leftrightarrow (x-9)(-9x+3)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   $\phantom{\Leftrightarrow } x-9=0$ ou $-9x+3=0$
   $\Leftrightarrow x=9$ ou $-9x=-3$
   $\Leftrightarrow x=9$ ou $x=\dfrac{1}{3}$
   Les solutions de l’équation sont $9$ et $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$