Quand on divise $n$ par $4$, le reste est $3$, quand on divise $n$ par $5$ le reste est $1$, le quotient est le même.
Déterminer $n$.
On appelle $q$ le quotient des deux divisions euclidiennes.
On a donc $n=4q+3$ et $n=5q+1$.
Ainsi $4q+3=5q+1 \Leftrightarrow q=2$.
Par conséquent $n=4\times 2+3$ soit $n=11$.
$\quad$
Dans la division euclidienne entre $2$ entiers positifs, le dividende est $1~517$ et le quotient est $75$.
Quels peuvent être le diviseur et le reste?
$\quad$
On cherche à déterminer les entiers naturels $d$ et $r$ tels que $1~517=75\times d+r$ et $r<75$.
Or $1~517 = 75 \times 20 + 17$. De plus $17<75$.
Par conséquent le diviseur est $20$ et le reste $17$.
$\quad$
On effectue la division euclidienne de $a$ par $b$, puis on augmente le dividende de $52$ et le diviseur de $4$ . Le quotient et le reste ne changent pas. Calculer le quotient.
$\quad$
On appelle $q$ le quotient et $r$ le reste de ces divisions.
On a donc $a=qb+r$ et $a+52=q(b+4)+r \ssi a+52=qb+4q+r$.
Par conséquent $52=4q$ soit $q=13$.
Le quotient de ces divisions euclidiennes est donc $13$.
$\quad$
La somme de deux entiers naturels $a$ et $b$ est $416$. La division euclidienne de $a$ par $b$ donne $4$ pour quotient et $61$ pour reste.
Déterminer $a$ et $b$.
$\quad$
On a donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} a+b=416\\a=4b+61\end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} a=4b+61\\4b+61+b=416\end{cases} \\
&\Leftrightarrow \begin{cases} a=4b+61\\5b=355\end{cases} \\
&\Leftrightarrow \begin{cases} b=71\\a=345\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $a=345$ et $b=71$.
Pour chacune des valeurs de $a$ données, trouver un entier $x$ tel que $a\equiv x ~[4]$ et $0\leq x <7$.
$a=36$
$\quad$
$a=184$
$\quad$
$a=-3$
$\quad$
$a=7~006$
$\quad$
$a=-4~901$
$\quad$
$\quad$
$a=36$
$36=5\times 7+1$ donc $36\equiv 1~[7]$ et $x=1$
$\quad$
$a=184$
$184=26\times 7+2$ donc $184 \equiv 2~[7]$ et $x=2$
$\quad$
$a=-3$
$-3=-1\times 7+4$ donc $-3\equiv 4~[7]$ et $x=4$
$\quad$
$a=7~006$
$7~006=1~000\times 7+6$ donc $7~006 \equiv 6~[7]$ et $x=6$
$\quad$
$a=-4~901$
$-4~901=-701\times 7+6$ don c$-4~901\equiv 6~[7]$ et $x=6$.
$\quad$
Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les systèmes suivants :
$x\equiv -2~[5]$ et $x>0$
$\quad$
$x+2\equiv -1~[7]$ et $100 \leq x<125$
$\quad$
$x\equiv -2~[5]$ et $x>0$
Il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $x=5k-2$.
Or $x>0$ donc $k\in \mathbb{N}^*$.
Réciproquement, pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, $5k-2\equiv -2~[5]$.
L’ensemble solution est donc $\lbrace 5k-2,~\forall k\in \mathbb{N}^*\rbrace$.
$\quad$
$x+2\equiv -1~[7]$ et $100 \leq x<125$
Il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x+2=7k-1$ soit $x=7k-3$.
$\begin{align*} 100 \leq x<125&\Leftrightarrow 100\leq 7k-3<125 \\
&\Leftrightarrow 103 \leq 7k \leq 128 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{103}{7} \leq k < \dfrac{128}{7}\end{align*}$
Or $\dfrac{103}{7} \approx 14,7$ et $\dfrac{128}{7} \approx 18,3$.
Ainsi $k\in \lbrace 15;16;17;18\rbrace$
Réciproquement, pour tout $k\in \lbrace 15;16;17;18\rbrace$, $7k-3\equiv -3~[7]$ et donc $7k-3+2\equiv -1~[7]$.
L’ensemble solution est donc $k\in \lbrace 7k-3,~\forall k\in \lbrace 15;16;17;18\rbrace\rbrace = \lbrace 102;109;116;123\rbrace $.
$\quad$
Déterminer les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x\equiv y~[9]$
$\quad$
$x$ et $y$ ont donc le même reste $r$ dans la division euclidienne par $9$.
Ainsi $x=9q+r$ et $y=9q’+r$ pour tout $(q,q’)\in \mathbb{N}^2$.
$\quad$
Déterminer tous les couples d’entiers naturels $(x, y)$ tels que : $3( x-2) = 5 ( y + 3)$
$\quad$
$3$ et $5$ sont premiers entre eux. Par conséquent $3$ divise $y+3$.
Il existe donc $k\in \mathbb{N}$ tel que $y+3=3k$.
Par conséquent $3(x-2)=5\times 3k$ soit $x-2=5k$.
Ainsi $y=3k-3$ et $x=5k+2$.
$x$ et $y$ sont des entiers naturels. On en déduit donc que $y\geq 0$ et donc que $k\geq 1$.
Réciproquement, soit $k\in \mathbb{N}^*$ et considérons les entiers $x=5k+2$ et $y=3k-3$. On a bien $x\in \mathbb{N}$ et $y\in \mathbb{N}$.
$\begin{align*} 3(x-2)&=3\times 5k \\
&=5(3k-3+3) \\
&=5(y+3)\end{align*}$
Par conséquent, tous les couples $(5k+2,3k-3)$, pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, sont solution de l’équation $3(x-2)=5(y+3)$.
$\quad$
Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que $x \equiv 7~[9]$ et $y \equiv 4~ [9]$.
Déterminer les restes dans la division par $9$ de :
$3x + 4 y$
$\quad$
$x^2 + y^2$
$\quad$
$2x^2-5 y^2$
$\quad$
$3x\equiv 21~[9]$ c’est-à-dire $3x\equiv 3~[9]$
$4y\equiv 16~[9]$ c’est-à-dire $4y\equiv -2~[9]$
Donc $3x+4y\equiv 1~[9]$.
$\quad$
$x^2\equiv 49~[9]$ ou encore $x^2\equiv 4~[9]$
$y^2\equiv 16~[9]$ ou encore $y^2\equiv -2~[9]$
Donc $x^2+y^2\equiv 2~[9]$.
$\quad$
D’après la question précédente $2x^2\equiv 8~[9]$ et $5y^2\equiv -10~[9]$
Ainsi $2x^2-5y^2\equiv 18~[9]$ et donc $2x^2-5y^2\equiv 0~[9]$.
$\quad$
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n\left(n^2 + 5\right)$ est divisible par $6$.
$\quad$
Raisonnons par disjonction de cas :
Si $n\equiv 0~[6]$ alors $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Si $n\equiv 1~[6]$ alors $n^2+5\equiv 6~[6]$ et $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Si $n\equiv 2~[6]$ alors $n^2+5\equiv 9~[6]$ et $n\left(n^2+5\right)\equiv 18~[6]$ soit $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Si $n\equiv 3~[6]$ alors $n^2+5\equiv 14~[6]$ et $n\left(n^2+5\right)\equiv 42~[6]$ soit $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Si $n\equiv 4~[6]$ alors $n^2+5\equiv 21~[6]$ et $n\left(n^2+5\right)\equiv 48~[6]$ soit $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Si $n\equiv 5~[6]$ alors $n^2+5\equiv 30~[6]$, c’est-à-dire $n^2+5\equiv 0~[6]$ et $n\left(n^2+5\right)\equiv 0~[6]$.
Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n\left(n^2+5\right)$ est divisible par $6$.
$\quad$