Écrire l’ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ de $18$, $24$, $50$.
$1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$ sont les diviseurs de $18$ dans $\mathbb{N}$.
L’ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ de $18$ est donc :
$$\lbrace-1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-9;9;-18;18\rbrace$$
$1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$ sont les diviseurs de $24$ dans $\mathbb{N}$.
L’ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ de $18$ est donc :
$$\lbrace-1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-8;8;-12;12;-24;24\rbrace$$
$1$, $2$, $5$, $10$, $25$, $50$ sont les diviseurs de $50$ dans $\mathbb{N}$
L’ensemble des diviseurs dans $\mathbb{Z}$ de $18$ est donc :
$$\lbrace -1;1;-2;2;-5;5;-10;10;-25;25;-50;50\rbrace$$
$\quad$
Combien y a t-il de multiples de $39$ entre $-300$ et $500$?
$\quad$
Le plus petit multiple de $39$ appartenant à $[-300;500]$ est $-273$ et le plus grand est $468$.
Si on note $u_0=-273$ on cherche alors tous le rang de$468$ dans la suite arithmétique de raison $39$ et de premier terme $u_0$.
$468=-273+39\times n \Leftrightarrow n=\dfrac{468+273}{39} \Leftrightarrow n=19$.
Il y a donc $20$ multiples de $39$ entre $-300$ et $500$.
$\quad$
Trouver les diviseurs de $15$ dans $\mathbb{N}$.
$\quad$
Trouver tous les couples $( x, y) \in \mathbb{N}^2$ tels que : $x^2-y^2 = 15$.
Les diviseurs de $15$ dans $\mathbb{N}$ sont $1$, $3$, $5$ et $15$.
$\quad$
$x^2-y^2=15\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=15$.
Cela revient à chercher les solutions des systèmes suivants :
– $\begin{cases} x+y=15\\x-y=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=8\\y=7\end{cases}$
– $\begin{cases} x+y=5\\x-y=3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=4\\y=1\end{cases}$
– $\begin{cases} x+y=3\\x-y=5\end{cases}$ n’a pas de solutions dans $\mathbb{N}^2$
– $\begin{cases} x+y=1\\x-y=15\end{cases}$ n’a pas de solutions dans $\mathbb{N}^2$
$\quad$
Les seuls couples solutions appartenant à $\mathbb{N}^2$ sont donc $(8;7)$ et $(4;1)$.
$\quad$
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $2$ et $3$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} n^3-n&=n\left(n^2-1\right) \\
&=n(n-1)(n+1)\end{align*}$
$n$ est soit pair, soit impair.
-
Si $n$ est pair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
Ainsi $n^3-n=2k(2k-1)(2k+1)$ est divisible par $2$.
Si $n$ est impair alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$.
Ainsi $n^3-n=(2k+1)\times 2k(2k+2)$ est divisible par $2$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $2$.
$n$ s’écrit sous la forme $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$
-
S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k$ alors :
$n^3-n=3k(3k-1)(3k+1)$ est divisible par $3$.
- S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+1$ alors :
$n^3-n=(3k+1)\times 3k(3k+2)$ est divisible par $3$.
S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=3k+2$ alors :
$n^3-n=(3k+2)\times (3k+1)(3k+3)=(3k+2)(3k+1)\times 3(k+1)$ est divisible par $3$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $3$.
Pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est donc divisible par $2$ et $3$.
$\quad$
Soient $k\in \mathbb{N}$, $a = 3k +5$ et $b = 2k +1$.
Prouver que les seuls diviseurs positifs communs possibles à $a$ et $b$ sont $1$ et $7$.
$\quad$
$\quad$
$\quad$
On appelle $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$.
Il existe donc deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $a=dn$ et $b=dm$.
Ainsi $\begin{cases} dn=3k+5\\dm=2k+1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3k+5=dn \\7=2dn-3dm & L_2\leftarrow 2L_1-3L_2\end{cases}$.
Par conséquent $(2n-3m)d=7$.
$d$ est donc un diviseur de $7$. Ce ne peut être que $1$ ou $7$.
$1$ est toujours un diviseur commun à $a$ et $b$.
Si $k=3$ alors $a=14$ et $b=7$ et $7$ divise bien $a$ et $b$.
$\quad$
-
Déterminer les entiers naturels $n$ tel que $n-3$ divise $n^2+3$
aide : On pourra écrire $n^2+3 = n^2-9+12$
$\quad$
-
Déterminer tous les entiers naturels $n$ tel que $n-3$ divise $n^2-3$.
$\quad$
$\quad$
$\quad$
Si $n-3$ divise $n^2+3$ alors il existe un entier naturel $k$ tem que $n^2+3=k(n-3)$
Or :
$\begin{align*} n^2+3&=n^2-9+12 \\
&=(n-3)(n+3)+12\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} (n-3)(n+3)+12=k(n-3) &\Leftrightarrow k(n-3)-(n-3)(n+3)=12 \\
&\Leftrightarrow (n-3)(k-n-3)=12\end{align*}$
Donc $n-3$ divise $12$.
Ainsi $n-3\in \lbrace-12;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12\rbrace$ et donc $n\in \lbrace-9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15\rbrace$.
Or $n$ est un entier naturel donc $n\in \lbrace 0;1;2;4;5;6;9;15\rbrace$.
– Si $n=0$ alors $n^2+3=3$ et $n-3=-3$ : $-3$ divise $3$.
– Si $n=1$ alors $n^2+3=4$ et $n-3=-2$ : $-2$ divise $4$.
– Si $n=2$ alors $n^2+3=7$ et $n-3=-1$ : $-1$ divise $7$.
– Si $n=4$ alors $n^2+3=19$ et $n-3=1$ : $1$ divise $19$.
– Si $n=5$ alors $n^2+3=28$ et $n-3=2$ : $2$ divise $28$.
– Si $n=6$ alors $n^2+3=39$ et $n-3=3$ : $3$ divise $39$.
– Si $n=15$ alors $n^2+3=228$ et $n-3=12$ : $12$ divise $228$.
L’ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n-3$ divise $n^2+3$ est $\lbrace -9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15\rbrace$.
$\quad$
Si $n-3$ divise $n^2-3$ alors il existe un entier naturel $k$ tel que $n^2-3=k(n-3)$
$n^2-3=n^2-9+6$
Par conséquent
$\begin{align*} n^2-9+6=k(n-3) &\Leftrightarrow (n-3)(n+3)+6=k(n-3) \\
&\Leftrightarrow 6=k(n-3)-(n+3) \\
&\Leftrightarrow 6=(n-3)(k-n-3)\end{align*}$
Par conséquent $n-3$ divise $6$.
Ainsi $n-3\in \lbrace -6;-3;-2;-1;1;2;3;6 \rbrace$ soit $n\in \lbrace-3;0;1;2;4;5;6;9\rbrace$
Or $n$ est un entier naturel donc $n\in \lbrace 0;1;2;4;5;6;9\rbrace$.
– Si $n=0$ alors $n^2-3=-3$ et $n-3=-3$ : $-3$ divise $-3$.
– Si $n=1$ alors $n^2-3=-2$ et $n-3=-2$ : $-2$ divise $-2$.
– Si $n=2$ alors $n^2-3=1$ et $n-3=-1$ : $-1$ divise $1$.
– Si $n=4$ alors $n^2-3=13$ et $n-3=1$ : $13$ divise $1$.
– Si $n=5$ alors $n^2-3=22$ et $n-3=2$ : $2$ divise $22$.
– Si $n=6$ alors $n^2-3=33$ et $n-3=3$ : $3$ divise $33$.
– Si $n=9$ alors $n^2-3=78$ et $n-3=6$ : $6$ divise $78$.
L’ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n-3$ divise $n^2-3$ est $\lbrace 0;1;2;4;5;6;9\rbrace$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, le nombre $2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.
$\quad$
$\quad$
Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on pose $P(n):~2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.
Initialisation : Si $n=1$ alors $2^{2n}+6n-1=9$ et $9$ est bien divisible par $9$.
Ainsi $P(1)$ est vraie.
Hérédité : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} 2^{2(n+1)}+6(n+1)-1&=2^{2n+2}+6n+6-1 \\
&=4\times 2^{2n}+6n+5 \\
&=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-4\times 6n+4+6n+5 \\
&=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-18n+9\end{align*}$
Or, $18$ et $9$ sont divisibles par $9$ et, par hypothèse de récurrence, $2^{2n}+6n-1$ l’est également.
Donc $2^{2(n+1)}+6(n+1)-1$ est divisible par $9$ et $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : La propriété $P(n)$ est vraie pour $n=1$ et est héréditaire. Ainsi, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, $2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.
$\quad$
Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, les nombres suivants sont premiers entre eux :
$3n-1$ et $5n-2$
$\quad$
$11n + 6$ et $9n + 5$
$\quad$
$\quad$
On appelle $d$ un diviseur commun à $3n-1$ et $5n-2$.
$d$ divise donc $5(3n-1)-3(5n-2)=1$.
Ainsi $3n-1$ et $5n-2$ sont premiers entre eux.
$\quad$
On appelle $d$ un diviseur commun à $11n+6$ et $9n+5$.
$d$ divise donc $9(11+6)-11(9n+5)=-1$.
Ainsi $3n-1$ et $5n-2$ sont premiers entre eux.
$\quad$