Factoriser au maximum les expressions suivantes et réduire les facteurs.

$A(x)=(4x+3)^2-1$

$B(x)=4-(2x+1)^2$

$C(x)=(5x-3)^2-x^2$

$D(x)=(x+1)^2-(x+7)^2$

$E(x)=(2x+5)^2-(2x+3)^2$

$F(x)=(4x-7)^2-(3x+5)^2$

$\quad$

$\begin{align*} A(x)&=(4x+3)^2-1\\
&=(4x+3)^2-1^2\\
&=\left[(4x+3)-1\right]\left[(4x+3)+1\right]\\
&=(4x+2)(4x+4)\\
&=2(2x+1)\times 4(x+1)\\
&=8(2x+1)(x+1)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} B(x)&=4-(2x+1)^2 \\
&=2^2-(2x+1)^2\\
&=\left[2-(2x+1)\right]\left[2+(2x+1)\right] \\
&=(2-2x-1)(2+2x+1)\\
&=(1-2x)(3+2x)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} C(x)&=(5x-3)^2-x^2\\
&=\left[(5x-3)-x\right]\left[(5x-3)+x\right]\\
&=(4x-3)(6x-3)\\
&=3(4x-3)(2x-1)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} D(x)&=(x+1)^2-(x+7)^2 \\
&=\left[(x+1)-(x+7)\right]\left[(x+1)+(x+7)\right] \\
&=(x+1-x-7)(x+1+x+7)\\
&=-6(2x+8)\\
&=-6\times 2(x+4)\\
&=-12(x+4)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} E(x)&=(2x+5)^2-(2x+3)^2\\
&=\left[(2x+5)-(2x+3)\right]\left[(2x+5)+(2x+3)\right] \\
&=(2x+5-2x-3)(2x+5+2x+3)\\
&=2(4x+8)\\
&=2\times 4(x+2)\\
&=8(x+2)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} F(x)&=(4x-7)^2-(3x+5)^2 \\
&=\left[(4x-7)-(3x+5)\right]\left[(4x-7)+(3x+5)\right]\\
&=(4x-7-3x-5)(4x-7+3x+5)\\
&=(x-12)(7x-2)
\end{align*}$

Factoriser en plusieurs étapes :

$A(x)=5x^2-20$

$B(x)=3x^2-75$

$C(x)=28x^2-63$

$E(x)=x^2-4+(x-2)(2x+1)$

$F(x)=2x-3+(3-2x)^2$

$G(x)=(5x+1)(-3x+4)+x(10x+2)$

$H(x)=(2x-3)(1-x)-3(x-1)(x+2)$

$\quad$

$\begin{align*} A(x)&=5x^2-20 \\
&=5\left(x^2-4\right)\\
&=5\left(x^2-2^2\right)\\
&=5(x-2)(x+2)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} B(x)&=3x^2-75\\
&=3\left(x^2-25\right)\\
&=3\left(x^2-5^2\right)\\
&=3(x-5)(x+5)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} C(x)&=28x^2-63 \\
&=7\left(4x^2-9\right)\\
&=7\left((2x)^2-3^2\right)\\
&=7(2x-3)(2x+3)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} E(x)&=x^2-4+(x-2)(2x+1)\\
&=x^2-2^2+(x-2)(2x+1)\\
&=(x-2)(x+2)+(x-2)(2x+1)\\
&=(x-2)\left[(x+2)+(2x+1)\right]\\
&=(x-2)(x+2+2x+1)\\
&=(x-2)(3x+3)\\
&=3(x-2)(x+1)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} F(x)&=2x-3+(3-2x)^2\\
&=2x-3+(2x-3)^2\\
&=(2x-3)\times 1+(2x-3)^2\\
&=(2x-3)\left[1+(2x-3)\right]\\
&=(2x-3)(2x-2)\\
&=2(2x-3)(x-1)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} G(x)&=(5x+1)(-3x+4)+x(10x+2)\\
&=(5x+1)(-3x+4)+2x(5x+1)\\
&=(5x+1)\left[(-3x+4)+2x\right]\\
&=(5x+1)(-3x+4+2x)\\
&=(5x+1)(-x+4)
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}H(x)&=(2x-3)(1-x)-3(x-1)(x+2)\\
&=(2x-3)(1-x)+3(1-x)(x+2)\\
&=(1-x)\left[(2x-3)+3(x+2)\right]\\
&=(1-x)(2x-3+3x+6)\\
&=(1-x)(5x+3)
\end{align*}$

Pour chacune des expressions suivantes :

1. La développer.

2. La factoriser.

3. Développer l’expression trouvée en 2. après factorisation et vérifiée qu’on retrouve bien l’expression obtenue en 1. .

$A(x)=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)$

$B(x)=(x+2)(3x+1)-(x+2)(2x+3)$

$C(x)=9x^2-25+(3x-5)(3x+5)$

$D(x)=(2x-3)(2x-7)-(6x-9)$

$E(x)=(x-5)(2x-3)-(5-x)(10-x)$

$F(x)=7x(2x-3)-4(3-2x)$

$\quad$

1. Développement
   $\begin{align*} A(x)&=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2)\\
   &=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2+14x^2-4x+21x-6\\
   &=4x^2+12x+9+14x^2+17x-6\\
   &=18x^2+29x+3
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} B(x)&=(x+2)(3x+1)-(x+2)(2x+3)\\
   &=3x^2+x+6x+2-\left(2x^2+3x+4x+6\right)\\
   &=3x^2+7x+2-\left(2x^2+7x+6\right)\\
   &=3x^2+7x+2-2x^2-7x-6\\
   &=x^2-4
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} C(x)&=9x^2-25+(3x-5)(3x+5)\\
   &=9x^2-25+9x^2-25\\
   &=18x^2-50
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} D(x)&=(2x-3)(2x-7)-(6x-9)\\
   &=4x^2-14x-6x+21-6x+9\\
   &=4x^2-26x+30
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} E(x)&=(x-5)(2x-3)-(5-x)(10-x)\\
   &=2x^2-3x-10x+15-\left(50-5x-10x+x^2\right)\\
   &=2x^2-13x+15-\left(x^2-15x+50\right)\\
   &=2x^2-13x+15-x^2+15x-50\\
   &=x^2+2x-35
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} F(x)&=7x(2x-3)-4(3-2x)\\
   &=14x^2-21x-12+8x\\
   &=14x^2-13x-12
   \end{align*}$
   $\quad$

2. Factorisation
   $\begin{align*} A(x)&=(2x+3)^2+(2x+3)(7x-2) \\
   &=(2x+3)\left[(2x+3)+(7x-2)\right]\\
   &=(2x+3)(2x+3+7x-2)\\
   &=(2x+3)(9x+1)
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*}B(x)&=(x+2)(3x+1)-(x+2)(2x+3)\\
   &=(x+2)\left[(3x+1)-(2x+3)\right]\\
   &=(x+2)(3x+1-2x-3)\\
   &=(x+2)(x-2)
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} C(x)&=9x^2-25+(3x-5)(3x+5)\\
   &=(3x)^2-5^2+(3x-5)(3x+5)\\
   &=(3x-5)(3x+5)+(3x-5)(3x+5)\\
   &=2(3x-5)(3x+5)
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} D(x)&=(2x-3)(2x-7)-(6x-9)\\
   &=(2x-3)(2x-7)-3(2x-3)\\
   &=(2x-3)\left[(2x-7)-3\right]\\
   &=(2x-3)(2x-10)
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} E(x)&=(x-5)(2x-3)-(5-x)(10-x)\\
   &=(x-5)(2x-3)+(x-5)(10-x)\\
   &=(x-5)\left[(2x-3)+(10-x)\right]\\
   &=(x-5)(x+7)
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} F(x)&=7x(2x-3)-4(3-2x) \\
   &=7x(2x-3)+4(2x-3)\\
   &=(2x-3)(7x+4)
   \end{align*}$
   $\quad$

3. Vérification
   $\begin{align*} A(x)&=(2x+3)(9x+1)\\
   &=18x^2+2x+27x+3\\
   &=18x^2+29x+3
   \end{align*}$
   $\quad$
   $B(x)=(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$
   $\quad$
   $C(x)=2(3x-5)(3x+5)2\left(9x^2-25\right)=18x^2-50$
   $\quad$
   $\begin{align*} D(x)&=(2x-3)(2x-10)\\
   &=4x^2-20x-6x+30\\
   &=4x^2-26x+30
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} E(x)&=(x-5)(x+7)\\
   &=x^2+7x-5x-35\\
   &=x^2+2x-35
   \end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*}
   F(x)=&(2x-3)(7x+4)\\
   &=14x^2+8x-21x-12\\
   &=14x^2+13x-12
   \end{align*}$

1. Développer $3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x-4)$.
   $\quad$

2. Résoudre $x^2+2x+1=4x^2-12x+9$.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x-4)&=(3x-2)(x-4)\\
   &=3x^2-12x-2x+8\\
   &=3x^2-14x+8
   \end{align*}$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align*} x^2+2x+1=4x^2-12x+9 &\Leftrightarrow 3x^2-14x+8=0\\
   &\Leftrightarrow 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x-4)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x-\dfrac{2}{3}=0$ $\quad$ ou $\quad$ $x-4=0$
   soit $x=\dfrac{2}{3}$ $\quad$ ou $\quad$ $x=4$
   Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{2}{3}$ et $4$.
   $\quad$

Résoudre les équations suivantes.

1. $5x(x-2)=(2x+1)(x-2)$
   $\quad$

2. $(3x+1)(x-4)=-4$
   $\quad$

3. $(2x-7)(x+3)=2x-7$
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*} 5x(x-2)=(2x+1)(x-2) &\Leftrightarrow 5x(x-2)-(2x+1)(x-2)=0 \\
   &\Leftrightarrow (x-2)\left[5x-(2x+1)\right]=0 \\
   &\Leftrightarrow (x-2)(5x-2x-1)=0\\
   &\Leftrightarrow (x-2)(3x-1)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x-2=0$ $\quad$ ou $\quad$ $3x-1=0$
   soit $x=2$ $\quad$ ou $\quad$ $x=\dfrac{1}{3}$
   $\quad$

2. $\quad$
   $\begin{align*} (3x+1)(x-4)=-4 &\Leftrightarrow 3x^2-12x+x-4=-4\\
   &\Leftrightarrow 3x^2-11x=0\\
   &\Leftrightarrow x(3x-11)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x=0$ $\quad$ ou $\quad$ $3x-11=0$
   soit $x=0$ $\quad$ ou $\quad$ $x=\dfrac{11}{3}$
   Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{11}{3}$.
   $\quad$

3. $\quad$
   $\begin{align*} (2x-7)(x+3)=2x-7 &\Leftrightarrow (2x-7)(x+3)-(2x-7)=0\\
   &=(2x-7)(x+3)-(2x-7)\times 1=0\\
   &=(2x-7)\left[(x+3)-1\right]=0\\
   &=(2x-7)(x+2)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $2x-7=0$ $\quad$ ou $\quad$ $x+2=0$
   soit $x=\dfrac{7}{2}$ $\quad$ ou $\quad$ $x=-2$
   Les solutions de l’équation sont $\dfrac{7}{2}$ et $-2$.
   $\quad$

Résoudre les équations suivantes :

1. $(-x+2)^2=(2x+7)^2$
   $\quad$

2. $(2x-1)^2+36=0$
   $\quad$

3. $(3x-2)^2=16x^2$
   $\quad$

4. $x^2-10x=-25$
   $\quad$

5. $\dfrac{2x-1}{x+4}=1$
   $\quad$

6. $\dfrac{-x+2}{x+1}=2$
   $\quad$

7. $\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x+5}$
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*}(-x+2)^2=(2x+7)^2 &\Leftrightarrow (-x+2)^2-(2x+7)^2=0\\
   &\Leftrightarrow \left[(-x+2)-(2x+7)\right]\left[(-x+2)+(2x+7)\right]=0\\
   &\Leftrightarrow (-x+2-2x-7)(-x+2+2x+7)=0\\
   &\Leftrightarrow (-3x-5)(x+9)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $-3x-5=0$ $\quad$ ou $\quad$ $x+9=0$
   soit $x=-\dfrac{5}{3}$ $\quad$ ou $\quad$ $x=-9$
   Les solutions de l’équation sont $-\dfrac{5}{3}$ et $-9$.
   $\quad$

2. $\quad$
   $(2x-1)^2+36=0 \Leftrightarrow (2x-1)^2=-36$
   Un carré ne peut pas être négatif. L’équation ne possède donc pas de solution.
   $\quad$

3. $\quad$
   $\begin{align*} (3x-2)^2=16x^2 &\Leftrightarrow (3x-2)^2-16x^2=0\\
   &\Leftrightarrow (3x-2)^2-(4x)^2=0\\
   &\Leftrightarrow \left[(3x-2)-4x\right]\left[(3x-2)+4x\right]=0\\
   &\Leftrightarrow (-x-2)(7x-2)=0
   \end{align*}$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $-x-2=0$ $\quad$ ou $\quad$ $7x-2=0$
   soit $x=-2$ $\quad$ ou $\quad$ $x=\dfrac{2}{7}$
   Les solutions de l’équation sont donc $-2$ et $\dfrac{2}{7}$.
   $\quad$

4. $\quad$
   $x^2-10x=-25 \Leftrightarrow x^2-10x+25=0\Leftrightarrow (x-5)^2=0 \Leftrightarrow x-5=0$
   La solution de l’équation est donc $5$.
   $\quad$

5. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{2x-1}{x+4}=1 &\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x+4}-1=0 \\
   &\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{x+4}-\dfrac{x+4}{x+4}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{x-5}{x+4}=0 \\
   &\Leftrightarrow x-5=0 \quad \text{et} \quad x\neq -4\\
   \Leftrightarrow x=5
   \end{align*}$
   La solution de l’équation est $5$.
   $\quad$

6. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{-x+2}{x+1}=2 &\Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x+1}-2=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x+1}-\dfrac{2(x+1)}{x+1}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x+1}-\dfrac{2x+2}{x+1}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{-x+2-2x-2}{x+1}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{-3x}{x+1}=0\\
   &\Leftrightarrow x=0
   \end{align*}$
   La solution de l’équation est $0$.
   $\quad$

7. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x+5} &\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{x-3}-\dfrac{x-4}{x+5}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{(x+2)(x+5)-(x-4)(x-3)}{(x-3)(x+5)}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{x^2+5x+2x+10-\left(x^2-3x-4x+12\right)}{(x-3)(x+5)}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{x^2+7x+10-\left(x^2-7x+12\right)}{(x-3)(x+5)}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{x^2+7x+10-x^2+7x-12}{(x-3)(x+5)}=0\\
   &\Leftrightarrow \dfrac{14x-2}{(x-3)(x+5)}=0\\
   &\Leftrightarrow 14x-2=0 \quad \text{et} \quad x\neq 3 \text{ et } x\neq -5\\
   &\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}
   \end{align*}$
   $\quad$

On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x\neq -4$, par $f(x)=\dfrac{3x+b}{x+4}$où $b$ est un réel. On sait de plus que $f(1)=2$.

Déterminer l’expression algébrique $f(x)$.

$\quad$

On sait que $f(x)=\dfrac{3x+b}{x+4}$ et que $f(1)=2$

Or $f(1)=\dfrac{3+b}{5}$

On veut donc résoudre l’équation $\dfrac{3+b}{5}=2 \Leftrightarrow 3+b=10 \Leftrightarrow b=7$.

L’expression algébrique de $f$ est donc $f(x)=\dfrac{3x+7}{x+4}$.
$\quad$

Pour tout réel $x$ positif, déterminer l’inverse de $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. Cet inverse sera écrit sans fraction.

$\quad$

$\begin{align*} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\times \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \quad (*)\\
&=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} \\
&=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\end{align*}$

À l’étape $(*)$, au dénominateur, on se retrouve, en effet, avec :
$\begin{align*} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)&=\sqrt{x+1}^2-\sqrt{x}^2\\
&=x+1-x\\
&=1\end{align*}$

$\quad$

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

Comparer les nombres $\dfrac{x+y}{2}$ et $\sqrt{xy}$.

Remarque : $a=\dfrac{x+y}{2}$ est appelée la moyenne arithmétique et $g=\sqrt{xy}$ la moyenne géométrique des deux réels $x$ et $y$.
Géométriquement, si on considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $y$, alors $a$ est la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle et $g$ est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à celle du rectangle.

$\quad$

On considère deux nombres réels positifs $x$ et $y$.

$\begin{align*} \dfrac{x+y}{2}-\sqrt{xy}&=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}^2}{2} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2} \\
&\geq 0\end{align*}$

Par conséquent $\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$.

On considère deux nombres réels $a$ et $b$ quelconque.

1. Montrer que $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
   $\quad$

2. En déduire l’expression développée et réduite de $\left(5x^2+3\right)^3$.
   $\quad$

3. En utilisant la question 1. et sans tout développer donner l’expression développée et réduite de $(a-b)^3$.
   $\quad$

1. $\quad$
   $\begin{align*}
   (a+b)^3&=(a+b)^2(a+b) \\
   &=\left(a^2+2ab+b^2\right)(a+b)\\
   &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3\\
   &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
   \end{align*}$
   $\quad$

2. On utilise la propriété précédente avec $a=5x^2$ et $b=3$.
   On obtient :
   $\begin{align*}
   \left(5x^2+3\right)^3&=\left(5x^2\right)^3+3\left(5x^2\right)^2\times 3+3\times 5x^2\times 3^2+3^3 \\
   &=125x^6+225x^4+135x^2+27
   \end{align*}$
   $\quad$

3. On a :
   $\begin{align*}
   (a-b)^3&=\left(a+(-b)\right)^3 \\
   &=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
   \end{align*}$
   $\quad$